Finanční matematika I.

Jednoduché úročení

připisovaný úrok není dále úročen, používá se jen v krátkých obdobích (do jednoho roku)

K kapitál (aktuální stav účtu)

K₀ počáteční kapitál (počáteční stav účtu)

p roční úroková míra (např. 2,15 p.a. / per annum)

n doba trvání vkladu nebo výpůjčky v letech (měsíc = 1/12, 10 dní = 10/365)

Úloha: Půjčujeme si 100 000 Kč na půl roku s roční úrokovou mírou 12% p.a. Kolik za půl roku vrátíme? [K = 100 000 (1 + 12/100*1/2) = 106 000 Kč]

Složené úročení

připisovaný úrok je dále úročen

Jsou-li úroky připisovány v kratším období než 1 rok, pak , kde f je frekvence složeného úročení (počet úročení během jednoho roku)

Příklad: Uložíme si 100 000 Kč na 6% p.a. Kolik dostaneme po 1 roce, je-li frekvence složeného úročení:

Při větší frekvenci úročení se celkový úrok zvětšuje, ale růst je omezen.
Pro p=100% p.a., n=1 platí .

Odvození vztahu pro jednoduché úročení:

Podobnost s aritmetickou posloupností.

Odvození vztahu pro složené úročení:

původní vklad

po 1. úročení

po 2. úročení

po 3. úročení

…

po n. úročení

Obdoba geometrické posloupnosti

Úloha: Pan Novotný si uložil u banky 100 000 Kč ve složeném úročení s ročním připisováním úroků. Po 5 letech měl na účtu 153 862 Kč. Na jaký úrok měl peníze uloženy? Zdanění úroků zatím neuvažujte.

Pravidelné spoření (střádání)

Příklad: Každý rok uložíme 10 000 Kč na 3% p.a. Kolik uspoříme za 5 let?

Pro řešení příkladu si zavedeme substituci .
Zde je tedy q = 1,03. Toto číslo vyjadřuje roční zhodnocení úspor úročením.

Přemýšlejme, kolikrát budou částky, které uložíme, úročeny.

poslední vklad 1x 10 000 q

předposlední vklad 2x 10 000 q²

… 3x 10 000 q³

druhý vklad 4x 10 000 q⁴

první vklad 5x 10 000 q⁵

Poslední sloupec představuje 5 po sobě jdoucích členů geometrické posloupnosti. Součet těchto členů je dán výrazem .

Zobecnění příkladu: Při pravidelném ročním spoření částky a s úrokovou výší p vzroste po n letech vklad na částku , kde .

Umořování půjčky

Příklad: Pan Novotný si půjčil K = 50 000 Kč s úrokem 15% p.a. Jak velká musí být roční splátka s, aby dluh splatil za 3 roky?

Řešení

=1,15

Zobecnění příkladu

Má-li být půjčka K, úrokovaná p procenty, splacena pravidelnými splátkami za n let, pak výše roční splátky s je dána vzorcem , kde

Problém daní

Daně sníží skutečný připisovaný úrok. p=10% p.a. s daní 15% znamená, že bude připisován úrok %.

Příklad: Paní Veselá si uložila 50 000 Kč s úrokem 4% p.a., který je zdaněn 15%. Po 18 měsících si vklad vyzvedla. Kolik peněz dostala, byl-li její vklad úročen

1. jednoduchým úročením

2. složeným úročením s měsíčním připisováním úroků